IBM"Ponder This"5月挑战：二进制矩阵的幂次问题

IBM每月都会发布一道面向数学与编程爱好者的"Ponder This"挑战题。2026年5月的题目聚焦于二进制矩阵的幂次运算，考验参与者的数论与组合数学能力。

题目内容

给定一个N阶方形二进制矩阵A，其元素属于Z?域（即元素只能为0或1），且矩阵A满足：每行和每列的元素之和均为1。在此条件下，可以找到最小的正整数m，使得A的m次幂等于单位矩阵I（即A? = I）。

定义g(N)为在所有满足上述条件的N阶二进制矩阵M(Z?)???中，m的最大值。

题目给出了两个参考示例：

g(10) = 30

g(50) = 180180

本次挑战目标

参与者需要计算：g(10?) mod (10? + 7)

此外，题目还设有额外加分项：若能进一步求出g(10?) mod (10? + 7)，将获得特别标注的"*"荣誉。

参与方式

欢迎将你的解题过程与答案发送至官方邮箱ponder@il.ibm.com。提交正确且原创解答的参与者姓名将被公开展示。若不希望公开姓名，请在邮件中注明。同时，若你有认为适合作为挑战题目的问题，也欢迎投稿至同一邮箱。

更多挑战内容可访问"Ponder This"主页，查看每月解答、优秀解题者榜单及历史题目存档。

Q&A

Q1：g(N)在这道题中的具体含义是什么？

A：g(N)表示在所有满足"每行每列元素之和为1"的N阶二进制矩阵中，使得A? = I成立的最小正整数m的最大值。换句话说，它衡量的是满足条件的矩阵中，"回到单位矩阵"所需最多步数的上限。题目中给出了g(10)=30、g(50)=180180作为验证参考。

Q2：满足条件的二进制矩阵有什么特殊性质？

A：满足每行和每列元素之和均为1的二进制矩阵，本质上是一种置换矩阵。这类矩阵每行和每列恰好有且仅有一个元素为1，其余为0，对应的是集合{1, 2, ..., N}上的一个置换。因此，g(N)实际上等价于N阶置换群中所有置换的阶数的最大值，这在数学上被称为Landau函数g(N)。

Q3：如何参与IBM的"Ponder This"月度挑战？

A：参与者只需将解题思路和最终答案通过电子邮件发送至ponder@il.ibm.com即可。提交正确且原创答案的参与者姓名会在官方页面公示。如果不希望公开姓名，需在邮件中主动说明。此外，IBM官方的"Ponder This"主页还提供历史题目存档、每月解答以及优秀解题者榜单，供感兴趣的读者参考学习。