极智AI | 解读Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB)方程

HJB 方程是解决动态优化和最优控制问题的强大工具。通过动态规划原理，HJB 方程将复杂的优化问题转化为偏微分方程的求解问题。尽管在高维情况下数值求解 HJB 方程可能面临维度灾难，但在低维或具有特定结构的问题中，HJB 方程提供了清晰的解析或数值解法。

Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) 方程是动态优化和最优控制理论中的核心方程。它通过动态规划原理，将最优控制问题转化为一个非线性偏微分方程（PDE），从而为求解最优策略提供了一种系统的方法。HJB 方程在经济学、工程学、金融数学等领域有广泛的应用，如最优投资、路径规划、资源分配等。

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HJB 方程的推导基于动态规划原理，其核心思想是将整个时间段的优化问题分解为无数个微小时间间隔内的优化问题。

这个示例代码的实现

下面以 Python 实现一个简单的 HJB 方程的数值求解，使用有限差分法求解上述示例中的HJB方程。

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt
# 参数设置T = 1.0          # 终止时间Nx = 100         # 状态变量离散化数量Nt = 1000        # 时间离散化数量x_max = 2.0      # 状态变量范围 [-x_max, x_max]dt = T / Ntdx = 2 * x_max / Nxx = np.linspace(-x_max, x_max, Nx+1)t = np.linspace(T, 0, Nt+1)  # 时间从T到0逆向
# 初始化价值函数 V(x, T) = 0.5 * x^2V = 0.5 * x**2
# 使用向后时间步进for n in range(Nt):    # 计算空间导数 dV/dx    dVdx = np.zeros_like(V)    dVdx[1:-1] = (V[2:] - V[:-2]) / (2 * dx)    # 边界条件 (Neumann边界条件 dV/dx=0)    dVdx[0] = (V[1] - V[0]) / dx    dVdx[-1] = (V[-1] - V[-2]) / dx
    # 更新价值函数 V_t + 0.5*(V_x)^2 = 0    V_new = V - dt * 0.5 * (dVdx)**2    V = V_new.copy()
# 可视化结果plt.figure(figsize=(8,6))plt.plot(x, V, label='价值函数 $V(x, 0)$')plt.xlabel('状态变量 $x$')plt.ylabel('价值函数 $V$')plt.title('HJB 方程数值解')plt.legend()plt.grid()plt.show()
# 计算最优控制策略 u*u_star = -dVdx
plt.figure(figsize=(8,6))plt.plot(x, u_star, label='最优控制 $u^*$')plt.xlabel('状态变量 $x$')plt.ylabel('控制变量 $u^*$')plt.title('最优控制策略')plt.legend()plt.grid()plt.show()